Question

已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)且f（x）=f（x-4），又f（x）=

-x2- 3 2 x+5，0≤x≤1 2x+2-x，1＜x≤2

，函數(shù)g（x）=（

1

2

）^|x|+a，若F（x）=f（x）-g（x）恰好有2個零點(diǎn)，則a=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可知f（x）是周期為4的偶函數(shù)，對稱軸為直線x=2．若F（x）恰有2個零點(diǎn)，有g(shù)（1）=f（1），解得a=2．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）
∵f（x）=f（x-4），
∴把2-x代入得出f（2-x）=f（-2-x）=f（2+x）
即f（2+x）=f（2-x），對稱軸為x=2
∵f（x）=f（x-4），
∴f（x+4）=f（x）
可知f（x）是周期為4的偶函數(shù)，對稱軸為直線x=2n，n∈N．



g（x）=（

1

2

）^|x|+a，
g（x）的最大值為a+1，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，在（-∞，0）單調(diào)遞增，
∵F（x）=f（x）-g（x）恰好有2個零點(diǎn)，
∴有g(shù)（1）=f（1），

1

2

+a=-1-

3

2

+5，
即解得a=2．
故答案為：2

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)的零點(diǎn)與交點(diǎn)的相關(guān)問題，需要學(xué)生對圖象進(jìn)行理解，對學(xué)生的能力提出很高要求，屬于難題．