Question

已知⊙和點.

(Ⅰ)過點向⊙引切線，求直線的方程；
(Ⅱ)求以點為圓心，且被直線截得的弦長為4的⊙的方程；
(Ⅲ)設為（Ⅱ）中⊙上任一點，過點向⊙引切線，切點為. 試探究：平面內是否存在一定點，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ) ；（Ⅱ） 
（Ⅲ）可以找到這樣的定點，使得為定值. 如點的坐標為時，比值為；
點的坐標為時，比值為

試題分析：(Ⅰ)設切線方程為 ，易得，解得……4分
∴切線方程為 
（Ⅱ）圓心到直線的距離為,設圓的半徑為，則,
∴⊙的方程為 
（Ⅲ）假設存在這樣的點，點的坐標為，相應的定值為，
根據題意可得，∴,
即  （*），
又點在圓上∴，即，代入（*）式得：
  
若系數對應相等，則等式恒成立，∴，
解得 
∴可以找到這樣的定點，使得為定值. 如點的坐標為時，比值為；
點的坐標為時，比值為
點評：中檔題，涉及圓的題目，在近些年高考題中是屢有考查，求圓標準方程，研究直線與圓的位置關系。求圓的標準方程，主要考慮定義法、待定系數法。涉及直線于圓位置關系問題，往往應用韋達定理或充分利用“特征三角形”，通過半徑、弦長一半、圓心到弦的距離，建立方程（組）。