Question

已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x_i∈{0，1} ，i=1，2，…，n}（n≥2）。對(duì)于A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）∈S_n，定義A與B的差為A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…，|a_n-b_n|）；A與B之間的距離為d（A，B）=。
（1）證明：A，B，C∈S_n，有A-B∈S_n，且d（A-C，B-C）=d（A，B）；
（2）證明：A，B，C∈S_n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；
（3）設(shè)PS_n，P中有m（m≥2）個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為（P），證明：。

Answer 1

解：（1）設(shè)，，C=
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110903/20110903102353584981.gif">
所以
從而
又
由題意知∈{0，1}（i=1，2，…n）
當(dāng)c_i=0時(shí)，
當(dāng)c_i=1時(shí)，
所以；
（2）設(shè)
d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h，
記O=（0，0，…，0）∈S_n，由（1）知



所以（i=1，2，…，n）中1的個(gè)數(shù)為k
（i=1，2，…，n）中1的個(gè)數(shù)為l
設(shè)t是使成立的i的個(gè)數(shù)，則h=l+k-2t，由此可知，k，l，h三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；
（3），其中表示P中所有兩個(gè)元素間距離的總和
設(shè)P中所有元素的第i個(gè)位置的數(shù)字中共有t_i個(gè)1，m-t_i個(gè)0
則
由于
所以
從而。