Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0），
（Ⅰ）設(shè)b_n=a_n+1-a_n（n∈N*），證明{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若a₃是a₆與a₉的等差中項，求q的值，并證明：對任意的n∈N*，a_n是a_n+3與a_n+6的等差中項。

Answer 1

（Ⅰ）證明：由題設(shè)（n≥2），
得，即，n≥2，
又，q≠0，
所以{b_n}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），
，
……
，（n≥2），
將以上各式相加，得（n≥2），
所以當(dāng)n≥2時，，
上式對n=1顯然成立；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），當(dāng)q=1時，顯然a₃不是a₆與a₉的等差中項，故q≠1，
由可得，
由q≠0得，　①
整理得，解得（舍去），
于是，
另一方面，，
，
由①可得，n∈N*，
所以對任意的n∈N*，a_n是a_n+3與a_n+6的等差中項。