Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

1-x

b+x

（0＜a＜1）為奇函數(shù)，當(dāng)x∈（-1，a）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（-∞，1），則實(shí)數(shù)a+b的值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，建立方程關(guān)系即可求出b，然后根據(jù)分式函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性建立條件關(guān)系即可求出a．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=log_a

1-x

b+x

（0＜a＜1）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
∴l(xiāng)og_a

1-x

b+x

+log_a

1+x

b-x

=log_a

1-x

b+x

•

1+x

b-x

=0，
即

1-x

b+x

•

1+x

b-x

=1，
∴1-x²=b²-x²，
即b²=1，解得b=±1．
當(dāng)b=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=log_a

1-x

b+x

=f（x）=log_a

1-x

-1+x

=log_a（-1）無(wú)意義，舍去．
當(dāng)b=1時(shí)，函數(shù)f（x）=log_a

1-x

b+x

=log_a

1-x

1+x

為奇函數(shù)，滿足條件．
∵

1-x

1+x

=

-(1+x)+2

1+x

=-1+

2

1+x

，在（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
又0＜a＜1，
∴函數(shù)f（x）=log_a

1-x

1+x

在x∈（-1，a）上單調(diào)遞增，
∵當(dāng)x∈（-1，a）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（-∞，1），
∴f（a）=1，
即f（a）=log_a

1-a

1+a

=1，
∴

1-a

1+a

=a，
即1-a=a+a²，
∴a²+2a-1=0，
解得a=

-2± 4+4

2

=

-2±2 2

2

=-1±

2

，
∵0＜a＜1，
∴a=

2

-1，
∴a+b=

2

-1+1=

2

，
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的應(yīng)用，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．