Question

4．在四面體ABCD中，AB，BC，CD兩兩垂直，且BC=CD=1，過點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，若BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求三棱維A-BCD的體積．

Answer 1

分析 證明平面ACD內(nèi)的直線CD，垂直平面ABC內(nèi)的兩條相交直線AB，BC，即可證明CD⊥平面ABC，從而證明平面ACD⊥平面ABC，可得BH⊥平面ACD，求出S_△ACD=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出結(jié)論．

解答 證明：∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC
又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC，
∴BH⊥平面ACD，
設(shè)AB=a，在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{2}$，
∴BH=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=1
△ACD中，AC=$\sqrt{2}$，CD=1，AD=$\sqrt{3}$，
∴AC⊥CD，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查錐體體積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．