Question

已知函數(shù)f(x)=ln(e^x+a)(a為常數(shù))是實數(shù)集R上的奇函數(shù),函數(shù)g(x)=λf(x)+sinx是區(qū)間［-1,1］上的減函數(shù).

（1）求g(x)在x∈［-1,1］上的最大值；

（2）若g(x)≤t²+λt+1對x∈［-1,1］及λ∈(-∞,-1］恒成立,求t的取值范圍；

（3）討論關(guān)于x的方程=x²-2ex+m的根的個數(shù).

Answer 1

解:(1)f(x)=ln(e^x+a)是奇函數(shù)，則ln(e^-x+a)=-ln(e^x+a)恒成立.

∴(e^-x+a)(e^x+a)=1.

1+ae^-x+ae^x+a²=1,∴a(e^x+e^-x+a)=0.

∴a=0.

又∵g(x)在［-1，1］上單調(diào)遞減，

∴g(x)_max=g(-1)=-λ-sin1.

(2)只需-λ-sin1≤t²+λt+1在λ∈(-∞,-1］上恒成立,

∴(t+1)λ+t²+sin1+1≥0在λ∈(-∞，-1］上恒成立.

令h(λ)=(t+1)λ+t²+sin1+1(λ≤-1),則

∴而t²-t+sin1≥0恒成立,

∴t≤-1.

(3)由(1)知f(x)=x,∴方程為=x²-2ex+m,

令f₁(x)=,f₂(x)=x²-2ex+m，

∵f₁′(x)=，

當(dāng)x∈(0,e)時,f₁′(x)≥0,

∴f₁(x)在(0,e］上為增函數(shù)；

x∈［e,+∞)時,f₁′(x)≤0,∴f₁(x)在［0,e)上為減函數(shù)，當(dāng)x=e時，f₁(x)_max=f₁(e)=.而f₂(x)=(x-e)²+m-e²，

∴函數(shù)f₁(x)、f₂(x)在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示.

∴①當(dāng)m-e²＞,即m＞e²+時，方程無解.

②當(dāng)m-e²=,即m=e²+時，方程有一個根.

③當(dāng)m-e²＜,即m＜e²+時，方程有兩個根.