Question

6．△ABC中，A（1，2），B（4，1），C（3，4），直線PQ平行于BC分別交AB、AC于P、Q兩點(diǎn)且三角形APQ與四邊形BCQP的面積的比為4：5，求P、Q坐標(biāo)．

Answer 1

分析 由已知得到兩三角形面積的關(guān)系，由直線PQ平行于BC，可設(shè)$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{AC}$，由兩三角形的面積比求得λ值，再由向量相等求得P，Q的坐標(biāo)．

解答 解：如圖，
∵S_△APQ：S_{四邊形BCQP}=4：5，
∴S_△APQ：S_△ABC=4：9，
∵直線PQ平行于BC，不妨設(shè)$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$（λ＞0），則$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{AC}$．
∴$|\overrightarrow{AP}|=λ|\overrightarrow{AB}|，|\overrightarrow{AQ}|=λ|\overrightarrow{AC}|$，
則$\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{AQ}|sin∠BAC}{\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|sin∠BAC}=\frac{4}{9}$，
即${λ}^{2}=\frac{4}{9}$，∴$λ=\frac{2}{3}$．
∵A（1，2），B（4，1），C（3，4），
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則$（{x}_{1}-1，{y}_{1}-2）=\frac{2}{3}（4-1，1-2）$，解得${x}_{1}=3，{y}_{1}=\frac{4}{3}$．
$（{x}_{2}-1，{y}_{2}-2）=\frac{2}{3}（3-1，4-2）$，解得${x}_{2}=\frac{7}{3}，{y}_{2}=\frac{10}{3}$．
∴P（$3，\frac{4}{3}$），Q（$\frac{7}{3}，\frac{10}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查了兩平行線的距離，考查了平面向量在解題中的應(yīng)用，是基礎(chǔ)的計算題．