Question

某種汽車(chē)購(gòu)車(chē)時(shí)費(fèi)用為10萬(wàn)元，每年保險(xiǎn)、汽油等費(fèi)用為0.9萬(wàn)元；汽車(chē)的維修費(fèi)用各年為：第一年0.2萬(wàn)元，以后每年以0.2萬(wàn)元的增量逐年遞增．
（1）寫(xiě)出該種汽車(chē)使用n年后總費(fèi)用S_n的表達(dá)式
（2）問(wèn)這種汽車(chē)使用多少年報(bào)廢最合算（平均費(fèi)用最少）？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）確定汽車(chē)每年維修費(fèi)構(gòu)成以0.2萬(wàn)元為首項(xiàng)，0.2萬(wàn)元為公差的等差數(shù)列，可得該種汽車(chē)使用n年后總費(fèi)用S_n的表達(dá)式；
（2）求汽車(chē)的年平均費(fèi)用，再利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意汽車(chē)每年的維修費(fèi)用形成以0.2為首項(xiàng)0.2為公差的等差數(shù)列--（2分）
∴使用n年后總費(fèi)用Sn=0.2n+

n(n-1)

2

×0.2=0.1n2+0.1n
即該種汽車(chē)使用n年后總費(fèi)用S_n的表達(dá)式為Sn=0.1n2+0.1n，(n∈N*)-----------（5分）
（2）設(shè)該種汽車(chē)使用n年后總費(fèi)用為y，依題意；y=

10+0.9n+0.1n2+0.1n

n

=

10

n

+

n

10

+1≥2+1=3（萬(wàn)元）---------------------（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)

10

n

=

n

10

即n=10時(shí)，等號(hào)成立，故這種汽車(chē)使用10年報(bào)廢最合算．-----（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．