Question

一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列{a_n}共有100項(xiàng)，首項(xiàng)為5，其第1、4、16項(xiàng)分別為正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}的第1、3、5項(xiàng)．記{a_n}各項(xiàng)和的值為S．
（1）求S （用數(shù)字作答）；
（2）若{b_n}的末項(xiàng)不大于

S

2

，求{b_n}項(xiàng)數(shù)的最大值N；
（3）記數(shù)列{c_n}，c_n=a_nb_n（n∈N*，n≤100）．求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

（1）設(shè){a_n}的公差為d（d≠0），
由b₁，b₃，b₅成等比數(shù)列，得b₃²=b₁b₅ 
即（5+3d）²=5（5+15d）?d=5．
所以a_n=5n （n∈N*，n≤100 ）
S=5•100+

100•99

2

5=25250 （6分）
（2）由b₁=5，b₃=20?q²=4（q＞0），
所以q=2，b_n=5•2^n-1 
由bn≤

S

2

?2n≤5050，
所以n的最大值為12．又b_n+1＞b_n，
所以b1＜b2＜…b12≤

S

2

，n≥13時(shí)bn＞

S

2

，所以N=12．（12分）
（3）c_n=25n•2^n-1，

Tn=25(1+2•2+3• 22+…+n•2n-1) 2Tn=25[2+2•22+…+(n-1)•2n-1+n•2n]

兩式相減得-T_n=25（1+2+•2²+…+2^n-1-n•2ⁿ）=25[（1-n）2ⁿ-1]
T_n=25[（n-1）2ⁿ+1]（n∈N*，n≤100）（16分）