Question

在△ABC中，BC、AC邊上的中線所在的直線AD與BE相交于點(diǎn)H．

求證：AB邊上的中線所在的直線也通過點(diǎn)H．

證明：因?yàn)槿魏稳�角形的三條中線所在的直線相交于一點(diǎn)，所以AB邊上的中線所在的直線一定通過點(diǎn)H．

上述命題的證明正確嗎？如果不正確，請說出錯(cuò)誤的原因．

Answer 1

答案：
解析：

　　導(dǎo)思：這里的論據(jù)是“三角形的三條中線所在的直線相交于一點(diǎn)，”這個(gè)論據(jù)實(shí)質(zhì)上就是論題的另一種表達(dá)方式．因此，證來證去還是圍繞著論題轉(zhuǎn)圈子，結(jié)果什么也沒有證明，犯了循環(huán)論證的邏輯錯(cuò)誤．

　　探究：此問題可以用向量的方法來證明．

　　證明：首先令＝a，＝b，有＝a－b，＝a－b，＝－a＋b，再令A(yù)D與BE交于點(diǎn)G₁并假定＝λa＋b

　　∴＝a＋μb，又由于＝＋＝(1)a＋(μ－1)b，

　　所以

　　由此可得λ＝μ＝，所以＝．

　　再令A(yù)D與CF相交于G₂，同理可證＝，因此G₁、G₂重合，即AD、BE、CF交于一點(diǎn)，故三角形三條中線交于一點(diǎn)．