Question

已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系式：，.
（1）若，證明：（�。┊�(dāng)時，有；（ⅱ）當(dāng)時，有.
（2）若，證明：當(dāng)時，有.

Answer 1

證明略

因為，故，即數(shù)列為遞增數(shù)列.
（1）（�。┯�及可求得，于是當(dāng)時，，于是，即當(dāng)時，.
…………………………5分
（ⅱ）由于時，，所以時，.
由可得.
先用數(shù)學(xué)歸納法證明下面的不等式成立：  （）.
Ⅰ）當(dāng)時，，結(jié)論成立.
Ⅱ）假設(shè)結(jié)論對成立，即，則結(jié)合（�。┑慕Y(jié)論可得
，即當(dāng)時結(jié)論也成立.
綜合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式對一切都成立.
因此，當(dāng)時，，即.
又，，所以當(dāng)時，有.
…………………………10分
（2）由于，而數(shù)列為遞增數(shù)列，故當(dāng)時，有.
由可得，而，于是
.
下面先證明：當(dāng)時，有                       （*）
Ⅰ）根據(jù)及計算易得，
，而，
故，即當(dāng)時，結(jié)論成立.
Ⅱ）假設(shè)結(jié)論對成立，即.
因為，而函數(shù)在時為增函數(shù)，所以
，
即當(dāng)時結(jié)論也成立.
綜合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式對一切都成立.
于是當(dāng)時，，故，所以.
…………………………20分