Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）求處的切線方程；

（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）數(shù)列，數(shù)列滿足的前項(xiàng)和為，求證：

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率，進(jìn)而寫出切線方程；（2）本題有兩種思路：①轉(zhuǎn)化為；②分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為；（3）構(gòu)造新數(shù)列，利用放縮法和裂項(xiàng)抵消法進(jìn)行證明.

規(guī)律總結(jié)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程：；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及與函數(shù)有關(guān)的綜合題，都體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的重要性；此類問題往往從求導(dǎo)入手，思路清晰；但綜合性較強(qiáng)，需學(xué)生有較高的邏輯思維和運(yùn)算能力.

試題解析：（Ⅰ） ，，切點(diǎn)是，

所以切線方程為，即．

（Ⅱ）（法一），

①當(dāng)時(shí)， ，，單調(diào)遞增，

顯然當(dāng)時(shí)，，不恒成立．　

②當(dāng)時(shí)， ，，單調(diào)遞增，

，，單調(diào)遞減，　　

，，

所以不等式恒成立時(shí)，的取值范圍 　　

（法二）所以不等式恒成立，等價(jià)于，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．　

，．

所以不等式恒成立時(shí)，的取值范圍．

（Ⅲ） ，，

，

，

由（2）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)．

　，，

，

，

令，

則，

，

，.

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.不等式恒成立問題；3.數(shù)列的求和.