Question

【題目】某商店商品每件成本10元，若售價為25元，則每天能賣出288件，經調查，如果降低價格，銷售量可以增加，且每天多賣出的商品件數t與商品單價的降低值x（單位：元，0≤x≤15）的關系是t=6x2 ．
（1）將每天的商品銷售利潤y表示成x的函數；
（2）如何定價才能使每天的商品銷售利潤最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：設商品降價x元，記商品每天的獲利為f（x），則依題意得

f（x）=（25﹣10﹣x）（288+6x2）=（15﹣x）（288+6x2）=﹣6x3+90x2﹣288x+4320（0≤x≤15）

（2）解：根據（1），有f′（x）=﹣18x2+180x﹣288=﹣18（x﹣2）（x﹣8）．

當x變化時，f′（x）與f（x）的變化如下表：

x	[0，2）	2	（2，8）	8	（8，15]
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	單調遞減	極小	單調遞增	極大	單調遞減

故x=8時，f（x）取得極大值．因為f（8）=4704，f（0）=4320，

所以定價為25﹣8=17元能使一天的商品銷售利潤最大

【解析】（1）根據題意列出函數關系式即可；（2）利用導數求函數的最大值即可解決．