Question

16．若a，b，c∈R⁺，求證：2[（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$]≤3[$\frac{a+b+c}{3}$-$\root{3}{abc}$]．

Answer 1

分析 把原不等式進行等價轉(zhuǎn)化，原不等式等價于證明 $\frac{c+\sqrt{ab}+\sqrt{ab}}{3}$≥$\root{3}{abc}$，由基本不等式證明即可．

解答 證明：不等式2[（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$]≤3[$\frac{a+b+c}{3}$-$\root{3}{abc}$]等價于
a+b-2$\sqrt{ab}$≤a+b+c-3$\root{3}{abc}$，
等價于3$\root{3}{abc}$≤c+$\sqrt{ab}$+$\sqrt{ab}$，
等價于c+$\sqrt{ab}$+$\sqrt{ab}$≥3$\root{3}{abc}$①
等價于$\frac{c+\sqrt{ab}+\sqrt{ab}}{3}$≥$\root{3}{abc}$，
∵x，y，z∈R⁺，
由基本不等式 $\frac{x+y+z}{3}$≥$\root{3}{xyz}$知，①成立．
∴原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，主要考查基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法．