Question

【題目】已知拋物線C的焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，且對(duì)稱軸為y軸.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)拋物線C的焦點(diǎn)為時(shí)，過F作直線交拋物線于，A、B兩點(diǎn)，若直線OA，OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別交直線于M、N兩點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義即可求出拋物線方程；

（2）由題意可得拋物線C的方程為，設(shè)，，直線AB的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得，聯(lián)立方程求得點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)，則，利用換元法求最值即可得出答案．

解：（1）當(dāng)焦點(diǎn)在y軸正半軸時(shí)，設(shè)拋物線C標(biāo)準(zhǔn)方程為，

則，所以拋物線C的方程為，

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸時(shí)，設(shè)拋物線C標(biāo)準(zhǔn)方程為，

則，所以拋物線C的方程為；

（2）依題意，拋物線C的方程為，設(shè)，，直線AB的方程為，

由消去y整理可得：，

∴，，∴，

由，解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，

同理可得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為，

∴，

令，，則，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)即，則，

綜上：的最小值．