Question

7．求函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{2}$+$\frac{2}{sinx}$（0＜x＜π）的最小值．

Answer 1

分析 設t=sinx，則0＜t≤1，利用函數(shù)y=$\frac{t}{2}+\frac{2}{t}$的單調(diào)性進行求解．

解答 解：設t=sinx，則0＜t≤1，
則函數(shù)等價為g（t）=$\frac{t}{2}+\frac{2}{t}$，0＜t≤1，
則函數(shù)的導數(shù)g′（t）=$\frac{1}{2}$$-\frac{2}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-4}{2{t}^{2}}$，
則當0＜t≤1時，g′（t）＜0，即函數(shù)g（t）為減函數(shù)，
則函數(shù)的最小值為g（1）=$\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$，
即函數(shù)f（x）的最小值為$\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，利用換元法，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關鍵．