Question

設是定義在上的函數(shù)，若對任何實數(shù)以及中的任意兩數(shù)、，恒有，則稱為定義在上的函數(shù)．

（1）證明函數(shù)是定義域上的函數(shù)；

（2）判斷函數(shù)是否為定義域上的函數(shù)，請說明理由；

（3）若是定義域為的函數(shù)，且最小正周期為，試證明不是上的函數(shù)．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）不是函數(shù)；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）利用題中所給定義進行證明是定義域上的函數(shù)；（2）舉反例，說明不是定義域上的函數(shù)；（3）利用題意進行證明.

試題解析：（1）證明如下：

對任意實數(shù)及，

有 2分

， 4分

即， 5分

∴是函數(shù)； 6分

（2）不是函數(shù)， 7分

說明如下（舉反例）：

取，，，

則

，

即，

∴不是函數(shù)； 10分

（3）假設是上的函數(shù)， 11分

若存在且，使得。

（i）若，

記，，，則，且，

那么

，

這與矛盾； 13分

（ii）若，

記，，，同理也可得到矛盾； 14分

∴在上是常數(shù)函數(shù)， 15分

又因為是周期為的函數(shù)，

所以在上是常數(shù)函數(shù)，這與的最小正周期為矛盾. 16分

所以不是上的函數(shù).

考點：1.新定義型題目；2.不等式恒成立.

考點分析： 考點1：函數(shù)的表示法 考點2：函數(shù)的周期性 考點3：函數(shù)圖像的對稱性 試題屬性

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