Question

在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c且4sin²

A+B

2

-cos2C=

7

2

．
（Ⅰ）求角C的大�。�
（Ⅱ）求sinA+sinB的最大值．

Answer 1

分析：由三角形的內(nèi)角和公式及二倍角公式可得，4sin²

A+B

2

-cos2C=4×

1+cosC

2

-(2cos2C-1)=

7

2

，從而可得4×

1+cosC

2

-(2cos2C-1)=

7

2

解方程可求 cosC，進(jìn)而求C；
（II）由（I）得A+B=

2π

3

代入可得，sinA+sinB=sinA+sin(

2π

3

-A)，化簡可得其結(jié)果為

3

sin(A+

π

6

)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出答案．

解答：解：∵A，B，C為三角形的內(nèi)角∴A+B+C=π
∵4sin2

A+B

2

-cos2C=

7

2

∴4cos2

C

2

-cos2C=

7

2

∴4×

1+cosC

2

-(2cos2C-1)=

7

2

即2cos2C-2cosC+

1

2

=0∴cosC=

1

2

∵0＜C＜π∴C=

π

3

（II）由（I）得A+B=

2π

3

∴sinA+sinB=sinA+sin(

2π

3

-A)
=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin(A+

π

6

)
當(dāng)A+

π

6

=

π

2

時即A=

π

3

 sinA+sinB取得最大值

3

點評：本題主要考查了利用二倍角公式對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡、求值，還考查了輔助角公式的應(yīng)用及正弦函數(shù)的 性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)知識的簡單綜合運用，屬于中檔試題．