Question

1．AB是過橢圓b²x²+a²y²=a²b²的中心弦，F(xiàn)（c，0）為它的右焦點，則△FAB面積的最大值是bc．

Answer 1

分析 △FAB面積等于△AOF 和△BOF 的面積之和，設(shè)A到x軸的距離為 h，則△FAB面積等于$\frac{1}{2}$×c×2h=ch，由此能求出△FAB面積的最大值．

解答 解：∵AB是過橢圓b²x²+a²y²=a²b²的中心弦，F(xiàn)（c，0）為它的右焦點，
∴橢圓b²x²+a²y²=a²b²的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），
∴△FAB面積等于△AOF 和△BOF 的面積之和，
設(shè)A到x軸的距離為 h，由AB為過橢圓中心的弦，則B到x軸的距離也為 h，
∴△AOF 和△BOF 的面積相等，
∴△FAB面積等于$\frac{1}{2}$×c×2h=ch，又h的最大值為b，
∴△FAB面積的最大值是bc，
故答案為：bc．

點評 本題考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．