Question

12．函數y=$\frac{sinx+2}{cosx-2}$的值域為[$\frac{-4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{-4+\sqrt{7}}{3}$]．

Answer 1

分析 可以把函數理解為點（cosx，sinx）到點（2，-2）的直線斜率的范圍，利用數形結合的思想，求得過點（2，-2）的直線與單位圓相切時直線的斜率，進而求得函數f（x）的值域．

解答 解：可以把函數理解為點（cosx，sinx）到點（2，-2）的直線斜率的范圍，
而（cosx，sinx）的點的集合為以原點為圓心，半徑為1的圓，如圖：
當過點（2，-2）的直線的斜率不存在時，不與圓相切，
設此直線的方程為y+2=k（x-2），整理得y-kx+2k+2=0，①
圓的方程為x²+y²=1，②
圓心到直線的距離為$\frac{|2k+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，整理求得k=$\frac{-4±\sqrt{7}}{3}$，
∴y=$\frac{sinx+2}{cosx-2}$的值域為[$\frac{-4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{-4+\sqrt{7}}{3}$]．
故答案為：[$\frac{-4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{-4+\sqrt{7}}{3}$]．

點評 本題主要考查了直線與圓的位置關系，三角函數化簡求值的問題．考查了學生轉化與化歸思想的運用．