Question

已知遞增的等比數列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項，等差數列{b_n}的前n項和為{S_n}，s₄=20，b₄=a₃．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）利用等差數列與等比數列的通項公式性質即可得出；
（II）利用“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}首項為a₁，公比為q．
由已知得2（a₃+2）=a₂+a₄　代入a₂+a₃+a₄=28可得a₃=8．
于是a₂+a₄=20．
故

a1q+a1q3=20 a3=a1q2=8

，解得

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

．
又數列{a_n}為遞增數列，故

q=2 a1=2

，
∴an=2n，
設等差數列{b_n}首項為a₁，公比為d．
則有

b1+3d=8 4b1+ 4×3 2 d=20

得b₁=2，d=2，
∴b_n=2n．
（Ⅱ）Tn=2×2+4×22+6×23+…+2n×2n，
2Tn=2×22+4×23+8×24+…+2n×2n+1，
兩式相減得Tn=2(2+22+23+…+2n-n×2n+1)=2(

2×(1-2n)

1-2

-n×2n+1)=2(1-n)×2n+1-4
∴Tn=(n-1)×2n+2+4．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式性質、“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．