Question

不等式|x|≥a（x+1）對任意的實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意不等式|x|≥a（x+1）對任意的實數(shù)x都成立，討論x+1、x與0的關(guān)系，兩邊除以x+1，分離出a，利用不等式的性質(zhì)求最值，分別求出a的范圍，最后求出交集即可．

解答： 解：由題意得，不等式|x|≥a（x+1），
①若-1＜x＜0，原不等式化為：a≤-

x

x+1

=-1+

1

x+1

，
又-1+

1

x+1

＞0，則a≤0，
②若x≥0時，原不等式化為：a≤

x

x+1

=1-

1

x+1

又1-

1

x+1

≥0，則a≤0，
③若x＜-1，原不等式化為：a≥-

x

x+1

=-1+

1

x+1

，
又-1+

1

x+1

＜-1，則a≥-1，
④若x=-1，則有1≥0，恒成立；
∵不等式|x|≥a（x+1）對任意的實數(shù)x都成立，
∴以上情況取交集得，a∈[-1，0]，
故答案為：[-1，0]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，恒成立問題，運用了分類討論的思想，解題的關(guān)鍵是去掉絕對值，利用常數(shù)分離法進行求解，利用不等式的性質(zhì)求最值，此類題目是高考常見的題型．