Question

已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x

　　　�。á瘢┣骹(x)的單調(diào)區(qū)間；

　　（Ⅱ）記f(x)在區(qū)間[0，n]（n∈N*）上的最小值為bx令an=ln(1+n)-bx.

    （Ⅲ）如果對(duì)一切n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

（Ⅳ）求證：

Answer 1

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、不等式、數(shù)列等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

解法一：

（I）因?yàn)閒(x)=ln(1+x)-x，所以函數(shù)定義域?yàn)椋?1,+）,且 =-1=.

由＞0得-1＜x＜0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）；

由＜0得x＞0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+）.

(II)因?yàn)閒(x)在[0,n]上是減函數(shù)，所以b_n=f(n)=ln(1+n)-n,

則a_n=ln(1+n)-b_n=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.

(i)

＞

又 ,

因此c＜1，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是（-，1].

（II）由（i）知

因?yàn)閇]2

=.

所以＜＜- (nN*),

則＜

N*）解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因?yàn)閒(x)在上是減函數(shù)，所以

　　　則

（i）因?yàn)?SUB>對(duì)n∈N*恒成立.所以對(duì)n∈N*恒成立.

　　則對(duì)n∈N*恒成立.

　　設(shè) n∈N*，則c＜g(n)對(duì)n∈N*恒成立.

　　考慮

　　因?yàn)?IMG align="middle" height=53 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/60/189806716010017560/33.gif" width=403 v:shapes="_x0000_i1289">

　　所以內(nèi)是減函數(shù)；則當(dāng)n∈N*時(shí)，g(n)隨n的增大而減小，

又因?yàn)?IMG align="middle" height=87 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/60/189806716010017560/35.gif" width=513 v:shapes="_x0000_i1291">

所以對(duì)一切因此c≤1,即實(shí)數(shù)c的取值范圍是(-∞，1].

(ⅱ) 由(ⅰ)知

     下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＜( n∈N*).

     ①當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝，右邊＝，左邊＜右邊.不等式成立.

     ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立.即

當(dāng)n=k+1時(shí)，

=

即n＝k＋1時(shí)，不等式成立

綜合①、②得，不等式成立.

所以

＜

N*）.