Question

【題目】數(shù)列的前項和為且滿足，（為常數(shù)，）．

（1）求；

（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，求實數(shù)的值；

（3）是否存在實數(shù)，使得數(shù)列滿足：可以從中取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）存在，

【解析】

（1）由，得，可知數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前項和得答案；

（2）由數(shù)列是等比數(shù)列，得．結合已知求出，，代入可得；

（3）當時，由（1）及，得，即數(shù)列是一個無窮等差數(shù)列．當，滿足題意．當時，利用反證法證明，從數(shù)列不能取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數(shù)列．

（1）由，得．

∴數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，

則；

（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，則．

∵，，

∴，．

∴，得；

（3）當時，由（1）及，得，

即數(shù)列是一個無窮等差數(shù)列．

∴當，滿足題意．

當時，∵，，即．

下面用反證法證明，當，從數(shù)列不能取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數(shù)列．

假設存在，從數(shù)列可以取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數(shù)列．不妨記為，

設數(shù)列的公差為．

（1）當時，，

∴數(shù)列是各項為正數(shù)的遞減數(shù)列，則．

∵，

∴當，即，即時，，這與矛盾．

（2）當時，令，解得，

當時，恒成立，

∴數(shù)列是各項為負數(shù)的遞增數(shù)列，則．

∵，∴，與矛盾．

綜上所述，是唯一滿足條件的的值．