Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，然后再向右平移一個(gè)單位得到曲線．

（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用將曲線的極坐標(biāo)方程為化為直角坐標(biāo)方程。進(jìn)而可得結(jié)果；（Ⅱ）先將直線極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再寫出其參數(shù)方程，代入曲線的直角坐標(biāo)方程后，利用直線參數(shù)方程的幾何意義求解即可.

試題解析：（Ⅰ）曲線的直角坐標(biāo)方程為，

所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（Ⅱ）由直線的極坐標(biāo)方程，得，

所以直線的直角坐標(biāo)方程為，又點(diǎn)在直線上，

所以直線的參數(shù)方程為： ，

代入的直角坐標(biāo)方程得，

設(shè)， 對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，

則，

所以