Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為R_n，R_n=1-

1

2n

，（n∈N^*），
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)條件建立方程，求出公差即可求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得

4a1+6d=8a1+4d a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1

，
解得a₁=1，d=2，
即a_n=2n-1．
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為R_n，R_n=1-

1

2n

，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=R_n-R_n-1=

1

2n-1

-

1

2n

=

1

2n

，
當(dāng)n=1時(shí)，R₁=1-

1

2

=

1

2

滿足b_n=

1

2n

，
故b_n=

1

2n

．
（2）a_n•b_n=（2n-1）•

1

2n

．
則T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
兩式相減得：

1

2

T_n=

1

2

+（

2

22

+

2

23

+…

2

2n

）-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
則T_n=3-

2n+3

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，以及數(shù)列求和，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵．