Question

13．點M，N分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁和B₁C₁的中點，則異面直線CM與DN所成的角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{{4\sqrt{5}}}{15}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{15}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{15}$
• D． $\frac{4}{15}$

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線CM與DN所成的角的余弦值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
則N（1，2，2），D（0，0，0），C（0，2，0），M（2，2，1），
則$\overrightarrow{CM}$=（2，0，1），$\overrightarrow{DN}$=（1，2，2），
設(shè)異面直線所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{DN}|}{|\overrightarrow{CM}|•|\overrightarrow{DN}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{9}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．
∴異面直線CM與DN所成的角的余弦值為$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．
故選：A．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．