Question

14．觀察下列等式
1=1                    
2+3+4=9                
3+4+5+6+7=25            
4+5+6+7+8+9+10=49      
5+6+7+8+9+10+11+12+13=81
照此規(guī)律下去
（Ⅰ）寫出第6個(gè)等式；
（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)式子的開(kāi)始項(xiàng)和最后一項(xiàng)及右邊特點(diǎn)得出；
（II）驗(yàn)證n=1猜想是否成立，再假設(shè)n=k成立，推導(dǎo)n=k+1成立即可．

解答 （I）解：第6個(gè)式子為6+7+8+9+…+16=121．
（II）猜想：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²，
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立；
（2）假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）²，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，（k+1）+（k+2）+（k+3）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）
=（2k-1）²-k+（3k-1）+3k+（3k+1）=4k²+4k+1=（2k+1）²=[2（k+1）-1]²，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立．
所以，對(duì)于任意n∈N₊，猜想都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題．