Question

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，向量=（sinA，1），=（1，-cosA），且⊥．
（1）求角A；
（2）若b+c=a，求sin（B+）的值．

Answer 1

解：（1）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3011.png' />⊥，所以•=0，
∵向量=（sinA，1），=（1，-cosA），
∴sinA-cosA=0．…（2分）
∴sinA=cosA，∴tanA=．…（4分）
又因?yàn)?＜A＜π，∴A=．…（6分）
（2）（解法1）因?yàn)閎+c=a，由正弦定理得sinB+sinC=sinA=．…（8分）
因?yàn)锽+C=，所以sinB+sin（-B）=．…（10分）
化簡(jiǎn)得sinB+cosB=，…（12分）
從而sinB+cosB=，即sin（B+）=．…（14分）
（解法2）由余弦定理可得b²+c²-a²=2bccosA，即b²+c²-a²=bc ①．…（8分）
又因?yàn)閎+c=a ②，
聯(lián)立①②，消去a得2b²-5bc+2c²=0，即b=2c或c=2b．…（10分）
若b=2c，則a=c，可得B=；若c=2b，則a=b，可得B=．…（12分）
所以sin（B+）=．…（14分）
分析：（1）利用向量垂直得到數(shù)量積為0，可得方程，由此可求角A；
（2）（解法1）利用正弦定理，將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角，利用輔助角公式，可得結(jié)論；
（解法2）利用余弦定理，求出邊，再求出B，從而可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查余弦定理、正弦定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是邊角互化．