Question

已知函數(shù)f（x）=（x∈R，a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）判斷f（x）奇偶性；
（Ⅱ）若g（x）圖象與曲線y=f（x）（x）關于y=x對稱，求g（x）的解析式及定義域；
（Ⅲ）若g（x）＜對于任意的m∈N⁺恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)對數(shù)的運算性質，化簡得f（x）+f（-x）=0，可得f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（II）由題意，函數(shù)y=g（x）與y=f（x）互為反函數(shù)，將f（x）的x、y互換，解出用x表示y的式子，即可得到g（x）的解析式．再結合a的范圍加以討論，即可得到函數(shù)g（x）的定義域；
（III）根據(jù)a的范圍加以討論，并結合函數(shù)g（x）的單調性，建立關于a的不等式，解之即可得到實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（I）∵f（x）=
∴f（-x）==
可得f（x）+f（-x）==log_a（1+x²-x²）=log_a1=0
∴f（-x）=-f（x），
∵f（x）的定義域為R，
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
（II）∵f（x）=，g（x）圖象與曲線y=f（x）關于y=x對稱，
∴函數(shù)y=g（x）與y=f（x）互為反函數(shù)，
令x=，得=a^x，得（a^x-y）²=1+y²，
∴2ya^x=a^2x-1，得y=，因此g（x）的解析式為g（x）=（a^x-a^-x）
∵f（x）的定義域為{x|x}
∴解不等式（a^x-a^-x）≥，得a^x≥2
當a＞1時，g（x）的定義域為[log_a2，+∞）；當0＜a＜1時，g（x）的定義域為（-∞，log_a2]
（III）由（2）得g（x）=（a^x-a^-x）
當0＜a＜1時，log_a2＜0，此時定義域中無正整數(shù)，不滿足條件；
當a＞1時，需所有正整數(shù)在定義域中，故log_a2≤1，得a≥2
∵g（x）=（a^x-a^-x）在其定義域內是增函數(shù)
∴由不等式g（x）＜=g（5），得a＜5，所求a的取值范圍是2≤a＜5
點評：本題給出對數(shù)型函數(shù)，討論函數(shù)的奇偶性并求函數(shù)在指定區(qū)間上的反函數(shù)，著重考查了指、對數(shù)函數(shù)的簡單性質和函數(shù)的反函數(shù)求法等知識，屬于中檔題．