Question

定義在[-1，1]上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且當x∈（0，1]時，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在[-1，0]上的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，1]上的單調(diào)性，并給予證明；
（3）當實數(shù)λ為何值時，關于x的方程f（x）=λ在[-1，1]上有解？

Answer 1

考點：函數(shù)的零點,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）設x∈[-1，0），則-x∈（0，1]利用f（x）=-f（-x）求函數(shù)的解析式．
（2）設0＜x₁＜x₂≤1，利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)為減函數(shù)；
（3）f（x）=λ在[-1，1]上有實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為λ=f（x）在[-1，1]上有實數(shù)解，故λ的范圍為函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）當x∈[-1，0）時，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2-x4x

4-x4x+4x

=-

2x

4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），f（0）=0
∴在區(qū)間[-1，0]上，有f（x）=

- 2x 4x+1 ，x∈[-1，0) 0，x=0

；
（2）證明：當x∈（0，1]時，f（x）=

2x

4x+1

，設0＜x₁＜x₂≤1，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵0＜x₁＜x₂≤1，∴2^x₂-2^x₁＞0，2^x₂+x₁-1＞0，又（4^x₁+1）（4^x₂+1）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減；
（3）f（x）=λ在[-1，1]上有實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為λ=f（x）在[-1，1]上有實數(shù)解，
f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，∴f（x）在（0，1]上的值域為[

2

5

，

1

2

），
又函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）在[-1，0）上的值域為（-

1

2

，-

2

5

]，
故f（x）在[-1，1]上的值域為為[

2

5

，

1

2

）∪（-

1

2

，-

2

5

]∪{0}，
∴實數(shù)λ的取值范圍為[

2

5

，

1

2

）∪（-

1

2

，-

2

5

]∪{0}．

點評：本題考查奇函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的值域的求法，及函數(shù)單調(diào)性的證明，綜合性較強．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．