Question

已知點(diǎn)A是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為f（n）-c，數(shù)列b_n（b_n＞0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和S_n滿足（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為T_n，問滿足T_n的最小整數(shù)是多少？
（3）若，求數(shù)列C_n的前n項(xiàng)和P_n．

Answer 1

【答案】分析：解：（1）根據(jù)求出{a_n}的通項(xiàng)公式；根據(jù)求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出S_n，b_n的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)b_n的通項(xiàng)公式，通過列項(xiàng)相消的方法求出的前n項(xiàng)和為T_n進(jìn)而解出n．
（3）先求出C_n的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法求出C_n的前n項(xiàng)和P_n．
解答：解：（1）∵點(diǎn)A是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點(diǎn)
∵等比數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為f（n）-c
∴當(dāng)n≥2時(shí)，
∵{a_n}為等比數(shù)列
∴公比
∵
∴c=1，，（3分）
由題設(shè)可知數(shù)列b_n（b_n＞0）的首項(xiàng)為b₁=c=1（n≥2）
∴
∴
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
則=n，S_n=n² b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1，也滿足b_n=2n-1
數(shù)列{b_n }的通項(xiàng)公式．b_n=2n-1（6分）
（2）∵b_n=2n-1
∴
∴=
要使T_n，
則，即
∴滿足T_n的最小整數(shù)為91（11分）
（3）∵，b_n=2n-1
∴=（2n-1）•3ⁿP_n=1•3+3•3²+5•3³++（2n-1）•3ⁿ①
3P_n=1•3²+3•3³+5•3⁴++（2n-1）•3ⁿ⁺¹..②
①-②得：-2P_n=3+2（3²+3³+3⁴+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=（2n-1）•3ⁿ⁺¹=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6
∴P_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與函數(shù)的綜合題目，用到了列項(xiàng)相消，錯(cuò)位相減等一些數(shù)列的基本方法，綜合性比較強(qiáng)，考查點(diǎn)比較全面．