Question

17．在△AOB中，G為△AOB的重心，且$∠AOB=\frac{π}{3}$．若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=6$，則$|{\overrightarrow{OG}}|$的最小值是2．

Answer 1

分析 如圖所示，D為AB的中點(diǎn)．由$∠AOB=\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=6$，可得$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|$$cos\frac{π}{3}$=6，即$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|$=12．利用三角形重心性質(zhì)及其平行四邊形法則可得$\overrightarrow{OG}=\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，再利用數(shù)量積性質(zhì)及其基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示，
D為AB的中點(diǎn)．
∵$∠AOB=\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=6$，
∴$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|$$cos\frac{π}{3}$=6，即$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|$=12．
∴$\overrightarrow{OG}=\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，
∴$|\overrightarrow{OG}{|}^{2}$=$\frac{1}{9}$$（|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+|\overrightarrow{OB}{|}^{2}+12）$$≥\frac{1}{9}（2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|+12）$=4，
∴$|\overrightarrow{OG}|$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)$|\overrightarrow{OA}|$=$|\overrightarrow{OB}|$=2$\sqrt{3}$時(shí)取等號(hào)．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積的定義及其運(yùn)算性質(zhì)、三角形重心性質(zhì)及其平行四邊形法則、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．