Question

△ABC中，AB=3，∠A=60°，∠A的平分線AD交邊BC于點D，且，則AD的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：取AC的一個三等分點E，滿足AE=AC，作DF平行于AE，則由條件可得四邊形AEDF為平行四邊形，求得∠AFD=120°，∠FAD=30°，∠FDA=30°，可得△AFD為等腰三角形，AF=DF=AC，故平行四邊形AEDF為菱形．利用余弦定理求得AD、BD、CD的值，再由三角形的內角平分線性質可得 ，由此求得λ的值，從而得到AD的值．
解答：解：△ABC中，∵AB=3，∠A=60°，∠A的平分線AD交邊BC于點D，且，
取AC的一個三等分點E，滿足AE=AC，作DF平行于AE，則由條件可得四邊形AEDF為平行四邊形，
∴∠AFD=120°，∠FAD=30°，∠FDA=30°，故△AFD為等腰三角形，∴AF=DF=AC，故四邊形AEDF為菱形．
再由AF=λAB=3λ=DF=AC，可得 AC=9λ，菱形AEDF的邊長為3λ．
△AFD中，由余弦定理可得AD²=（3λ）²+（3λ）²-2•3λ•3λ•cos120°=27λ²，∴AD=3λ．
△ABD中，由余弦定理可得 BD²=3²+27λ²-2×3×3λ×cos30°=27λ²-27λ+9，∴BD=3．
△ACD中，由余弦定理可得 CD²=81λ²+27λ²-2×9λ×3λ×cos30°=27λ²=3λ．
再由三角形的內角平分線性質可得 ，即 =，解得 λ=，或λ= （舍去）．
故AD=3λ=3×=2，
故答案為 2．
點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，余弦定理以及三角形的內角平分線性質應用，求得λ的值，是解題的關鍵和難點，屬于中檔題．