Question

3．第4屆湘臺經(jīng)貿(mào)洽談交流會于2011年6月在我市舉行，為了搞好接待工作，大會組委會在某學(xué)院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高編成如右所示的莖葉圖（單位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個子”，且只有“女高個子”才擔(dān)任“禮儀小姐”．（I）如果用分層抽樣的方法從“高個子”中和“非高個子”中提取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？（Ⅱ）若從所有“高個子”中選3名志愿者，用X表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）由題意及莖葉圖，有“高個子”12人，“非高個子”18人，利用用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是$\frac{5}{30}$=$\frac{1}{6}$，利用對立事件即可；
（Ⅱ）由于從所有“高個子”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，利用離散型隨機變量的定義及題意可知ξ的取值為0，1，2，3在利用古典概型的概率公式求出每一個值對應(yīng)事件的概率，有期望的公式求出即可．

解答 解：（I）根據(jù)莖葉圖，有“高個子”12人，“非高個子”18人，
用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是$\frac{5}{30}$=$\frac{1}{6}$，
所以選中的“高個子”有12×=2人，“非高個子”有18×$\frac{1}{6}$=3人．
用事件A表示“至少有一名“高個子”被選中”，
則它的對立事件A?表示“沒有一名“高個子”被選中”，
則P（A）=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{710}{\;}$．
因此，至少有一人是“高個子”的概率是$\frac{7}{10}$．
（Ⅱ）依題意，X的取值為0，1，2，3．　　　　　　　　　　
P（X=0）=$\frac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{14}{55}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{8}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{28}{55}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{8}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{12}{55}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{55}$．
因此，X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	$\frac{14}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{1}{55}$

∴EX=0×$\frac{14}{55}$+1×$\frac{28}{55}$+2×$\frac{12}{55}$+3×$\frac{1}{55}$=1．

點評 本題主要考查莖葉圖、分層抽樣、隨機事件的概率、對立事件的概率、隨機變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識．