Question

已知{a_n}為等差數(shù)列，公差d≠0，{a_n}的部分項(xiàng)ak1，ak2，…，akn恰為等比數(shù)列，若k₁=1，k₂=5，k₃=17，
（1）求k_n；
（2）求k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n．

Answer 1

分析：（1）通過數(shù)列中k₁=1，k₂=5，k₃=17時(shí)成等比數(shù)列，求出a₁與d的關(guān)系，然后求出數(shù)列的公比，然后利用akn的值求出k_n；
（2）利用（1）的結(jié)果，直接寫出k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n得到一個(gè)等差數(shù)列，和一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)乘積的數(shù)列，通過錯(cuò)位相減法求出和即可．

解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列ak1，ak2，…，akn的公比為q
∵k₁=1，k₂=5，k₃=17
∴a₁•a₁₇=a₅² 即 a₁（a₁+16d）=（a₁+4d）²，
 得 a₁d=2d²
∵d≠0∴a₁=2d，q=

a5

a1

=3
∵akn=a1+(kn-1)d=(kn+1)d，akn=ak1•qn-1=2d×3n-1
∴k_n=2×3^n-1-1，n∈N*
（2）k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n
=（2×3⁰-1）+2×（2×3¹-1）+…+n×（2×3^n-1-1）
=2×（1×3⁰+2×3¹+…+n×3^n-1）-（1+2+…+n）
設(shè)S_n=1×3⁰+2×3¹+…+n×3^n-1，
則3S_n=1×3¹+2×3²+…+n×3ⁿ，
兩式相減得：-2Sn=1+31+32+…+3n-1-n×3n=(

1

2

-n)×3n-

1

2

∴Sn=(

n

2

-

1

4

)×3n+

1

4

∴k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n=(n-

1

2

)×3n+

1

2

-

n(n+1)

2

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和的求法，注意錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，�？碱}型．