Question

在平面直角坐標系中，已知A₁(－3，0)，A₂(3，0)，P(x，y)，M(，0)，若實數(shù)λ使向量，λ，滿足λ²·()²＝·．

(1)求點P的軌跡方程，并判斷P點的軌跡是怎樣的曲線；

(2)當λ＝時，過點A₁且斜率為1的直線與此時(1)中的曲線相交的另一點為B，能否在直線x＝－9上找一點C，使ΔA₁BC為正三角形(請說明理由)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知可得，＝(x＋3，y)，＝(x－3，y)，＝(，0)， 　　∵2()2＝·，∴2(x2－9)＝x2－9＋y2， 　　即P點的軌跡方程(1－2)x2＋y2＝9(1－2)　　3分 　　當1－2＞0，且≠0，即∈(－1，0)時，有＋＝1， 　　∵1－2＞0，∴＞0，∴x2≤9． 　　∴P點的軌跡是點A1，(－3，0)與點A2(3，0) 　　當＝0時，方程為x2＋y2＝9，P的軌跡是點A1(－3，0)與點A2(3，0) 　　當1－2＜0，即入∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時，方程為－＝1，P點的軌跡是雙曲線．　　6分 　　當1－2＝0，即＝±1時，方程為y＝0，P點的軌跡是射線． 　　(2)過點A1且斜率為1的直線方程為y＝x＋3， 　　當＝時，曲線方程為＋＝1， 　　由(1)知，其軌跡為點A1(－3，0)與A2(3，0) 　　因直線過A1(－3，0)，但不過A2(3，0)． 　　所以，點B不存在． 　　所以，在直線x＝－9上找不到點C滿足條件．　　12分