Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$-2a+1（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：$\sum_{k=2}^n{ln\frac{k-1}{k+1}}＞\frac{{2-n-{n^2}}}{{\sqrt{2n（n+1）}}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的定義域，以及導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的正負與增減性的關系判斷即可確定出f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）令g（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$-2a+1-lnx，x∈[1，+∞），求出g（1）的值以及導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的正負與增減性的關系確定出f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立時實數(shù)a的取值范圍即可；
（Ⅲ）令a=$\frac{1}{2}$，根據(jù)第二問的結論列出關系式，進而可得當lnx²＜x-$\frac{1}{x}$（x＞1）（*），所證不等式等價于ln$\frac{2}{n（n+1）}$＞$\frac{2-n-{n}^{2}}{\sqrt{2n（n+1）}}$，令x=$\sqrt{\frac{n（n+1）}{2}}$＞1（n＞2），代入不等式（*），整理即可得證．

解答 （Ⅰ）解：f（x）的定義域為{x|x≠0}，f′（x）=a-$\frac{a-1}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+1-a}{{x}^{2}}$（a＞0），
當0＜a≤1時，f'（x）＞0恒成立，此時，f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上是增函數(shù)；
當a≥1時，令f'（x）=0得：x₁=-$\sqrt{\frac{a-1}{a}}$，x₂=$\sqrt{\frac{a-1}{a}}$，
列表如下：

x	（-∞，x1）	（x1，0）	（0，x2）	（x2，+∞）
f'（x）	+	_	_	+
f（x）	增	減	減	增

此時，f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-$\sqrt{\frac{a-1}{a}}$），（$\sqrt{\frac{a-1}{a}}$，+∞）；遞減區(qū)間是（-$\sqrt{\frac{a-1}{a}}$，0），（0，$\sqrt{\frac{a-1}{a}}$）；
（Ⅱ）解：g（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$-2a+1-lnx，x∈[1，+∞），
則g（1）=0，g′（x）=a-$\frac{a-1}{x^2}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{{a{x^2}-x-（a-1）}}{x^2}$=$\frac{{a（x-1）（x-\frac{1-a}{a}）}}{x^2}$，
（i）當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，$\frac{1-a}{a}$＞1，
若1＜x＜$\frac{1-a}{a}$，則g′（x）＜0，g（x）是減函數(shù)，
∴g（x）＜g（1）=0，即f（x）＞lnx，
故f（x）≥lnx在[1，+∞）上不恒成立；
（ii）當a≥$\frac{1}{2}$時，$\frac{1-a}{a}$≤1，
若x＞1，則g′（x）＞0，g（x）是增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=0，即f（x）＞lnx，
故當x≥1時，f（x）≥lnx，
綜上所述，所求a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）；
（Ⅲ）證明：在（2）中，令a=$\frac{1}{2}$，可得不等式：lnx≤$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）（x≥1）（當且僅當x=1時等號成立），
進而可得當lnx²＜x-$\frac{1}{x}$（x＞1）（*），
$\sum_{k=2}^{n}$ln$\frac{k-1}{k+1}$＞$\frac{2-n-{n}^{2}}{\sqrt{2n（n+1）}}$?ln$\frac{2}{n（n+1）}$＞$\frac{2-n-{n}^{2}}{\sqrt{2n（n+1）}}$，
令x=$\sqrt{\frac{n（n+1）}{2}}$＞1（n＞2），代入不等式（*）得：ln$\frac{n（n+1）}{2}$＜$\sqrt{\frac{n（n+1）}{2}}$-$\sqrt{\frac{2}{n（n+1）}}$=$\frac{n（n+1）}{\sqrt{2n（n+1）}}$-$\frac{2}{\sqrt{2n（n+1）}}$=$\frac{{n}^{2}+n-2}{\sqrt{2n（n+1）}}$，
則所證不等式成立．

點評 此題考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的增減性，以及恒成立問題，熟練掌握導函數(shù)的性質與函數(shù)增減性的關系是解本題的關鍵．