Question

己知函數(shù)f(x)=x(1－x²)，x∈R.

(1)   當(dāng)x>0時(shí)，求f(x)的最大值；

(2)   當(dāng)x>0時(shí)，指出f(x)的單調(diào)性，并用定義證明；

(3)   試作出函數(shù)f(x)(x∈R)的簡(jiǎn)圖.

Answer 1

答案：
解析：

（1）∵x>0,欲求f(x)最大值，必有1－x2>0, y2=x2(1－x2)2=·2x2(1－x2) ≤·[]3= ， ∴y≤=. 當(dāng)且僅當(dāng)2x2=1－x2即x=時(shí)，取“=”，即f(x)|mAx=f()=. (2)由（1）知，當(dāng)x∈（0,）時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，x∈時(shí)，f(x)單調(diào)遞減.設(shè)x2>x1>0,則  f(x2)－f(x1)=－x23+x2－（－x13+x1）  =( x2－ x1)－( x2－ x1)(x22+x1x2+x12)  =（x2－ x1）[1－（x22+x1x2+x12）]. 當(dāng)0< x1 <x2≤時(shí)，x2－ x1>0, 1－( x22+x1x2+x12 )>0. ∴f(x2)>f(x1).∴f(x)在）上遞增.當(dāng)≤x1<x2時(shí)，x2－x1>0,1－( x22+x1x2+x12)<0. ∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在上遞減. (3)注：圖象過(guò)點(diǎn)（－1,0），（0,0），（1,0），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 評(píng)述：第（1）題也可用導(dǎo)數(shù)解決.∵f＇(x)=1－3x2,令f＇(x)=0,∴x=±,又x>0,∴x=. 通過(guò)檢驗(yàn)單調(diào)性知，當(dāng)x=時(shí)，f(x)取得最大值，其最大值為，以下解法同上.