Question

已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為兩切點，則取得最小值時的OP的值為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設與的夾角為α，將表示成關于tanα的分式函數(shù)，令tan²α=x，得=（x＞0），利用導數(shù)研究它的單調(diào)性，可得當x=1+時，即tan²α=1+時，有最小值，由此即可算出||²=-1+，由勾股定理可算出此時OP的長，從而得到本題答案．
解答：解：設與的夾角為α，則||=||=
∴=•|cos2α|
=•cos2α=•=
令tan²α=x，得=（x＞0）
∵f（x）=的導數(shù)f'（x）==
∴0＜x＜1+時，f'（x）＜0；x＞1+時，f'（x）＞0
可得f（x）在區(qū)間（0，1+）上是減函數(shù)，在區(qū)間（1+，+∞）上是增函數(shù)
∴當x=1+時，即tan²α=1+時，有最小值f（1+）=-3+2
此時，||²==-1+，可得|OP|===
故選：B
點評：本題給出圓外一點P，由P引圓的兩條切線，求向量數(shù)量積的最小值，著重考查了直線與圓的位置關系、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和平面向量數(shù)量積的運算等知識，屬于中檔題．