Question

已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，函數(shù)圖象上的點都在，所表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）實數(shù)的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件，可以利用導數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，當時，，，

由，解得，由，解，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）根據(jù)不等式恒成立的條件，可知問題等價于當時，不等式，構造函數(shù)，則只需，將且轉化為求函數(shù)的最大值問題解決，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性后利用單調(diào)性求出最大值即可得證 .

試題解析：（1）當時，，，

由，解得，由，解，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

函數(shù)圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，

則當時，不等式恒成立，即恒成立，

設，只需即可．

由，

（�。┊�時，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

故成立，

（ⅱ）當時，由，∵，∴，

①若，即時，在區(qū)間上，，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上無最大值（或：時，），此時不滿足條件；

②若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件；

（ⅲ）當時，由，∵，∴，

∴，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立，

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.

考點：利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)極值.