Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CBA=90°，面 PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=AD=2，BC=1，點M是棱PD的中點
（Ⅰ）求證：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）M為PD的中點，要證CM∥平面PAB，取PA的中點N，只需證明直線CM平行平面PAB內(nèi)的直線BN即可；
（II）取AB中點E，連接PE，利用等腰三角形三線合一，可得PE⊥AB，再由PAB⊥面ABCD結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，可得PE⊥面ABCD，即PE為四棱錐P-ABCD的高，代入棱錐體積公式可得答案．
解答：證明：（I）取PA的中點N，連接BN、NM，
在△PAD中，MN∥AD，且MN=AD；
又BC∥AD，且BC=AD=1，
所以MN∥BC，MN=BC
即四邊形BCMN為平行四邊形，
CM∥BN．
又CM?平面PAB，BN?平面PAB，
故CM∥平面PAB．
解：（II）取AB中點E，連接PE
∵PA=PB，E為AB中點
∴PE⊥AB
又∵面 PAB⊥面ABCD，面 PAB∩面ABCD=AB，PE?面 PAB
∴PE⊥面ABCD，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=•S_ABCD•PE==
即四棱錐P-ABCD的體積為
點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，其中熟練掌握線面平行的判定定理是解答（I）的關(guān)鍵，而求出棱錐高為PE是解答（II）的關(guān)鍵．