Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2lnx+（a-6）x在（1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若g（x）=e^2x-2ae^x+a，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=2x++（a-6）
∵函數(shù)f（x）=x²+2lnx+（a-6）x在（1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f′（x）=2x++（a-6）≥0，即a-6≥-（2x+）在（1，+∞）上恒成立
∴a-6≥-4，
∴a≥2；
（Ⅱ）令t=e^x，則∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]
∴y=t²-2at+a=（t-a）²-a²+a
∴a＜1時(shí)，y_min=g（1）=1-a；1≤a≤3時(shí)，y_min=g（a）=-a²+a；a＞3時(shí)，y_min=g（3）=9-5a．
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=x²+2lnx+（a-6）x在（1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，構(gòu)建不等式，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，利用配方法可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．