Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，點(diǎn)（n，，2a_n+1-a_n）（n∈N^*）在直線y=x上．
（Ⅰ）計(jì)算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（I）由已知中點(diǎn)（n，2a_n+1-a_n）（n∈N^*）在直線y=x上可得n=2a_n+1-a_n，結(jié)合a1=

1

2

，依次代入n=2，n=3，n=4中即可得到a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由已知中b_n=a_n+1-a_n-1，我們可以分別計(jì)算出b_n及b_n+1的表達(dá)式，然后代入

bn+1

bn

中，易判斷

bn+1

bn

為定值，結(jié)合a1=

1

2

，求出b₁的值，即可判斷出數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）由（II）的結(jié)論我們易給出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合b_n=a_n+1-a_n-1，利用累加法即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（Ⅰ）由題意，2an+1-an=n，又a1=

1

2

，所以2a2-a1=1，解得a2=

3

4

．（2分）
同理a3=

11

8

，a4=

35

16

，（3分）
（Ⅱ）因?yàn)?a_n+1-a_n=n，
所以bn+1=an+2-an+1-1=

an+1+n+1

2

-an+1-1=

n-an+1-1

2

，（5分）bn=an+1-an-1=an+1-(2an+1-n)-1=n-an+1-1=2bn+1，即

bn+1

bn

=

1

2

（7分）
又b1=a2-a1-1=-

3

4

，所以數(shù)列{b_n}是以-

3

4

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=-

3

4

•(

1

2

)n-1（10分）
∴a_n+1-a_n-1=-

3

4

•(

1

2

)n-1∴a_n+1-a_n=-

3

4

•(

1

2

)n-1+1（11分）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）（12分）
=

1

2

-

3

4

[(

1

2

)0+(

1

2

)1+(

1

2

)2++(

1

2

)n-2]+n-1
=n-2+

3

2n

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的遞推公式，及等比關(guān)系的確定，判斷一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列就是根據(jù)定義判定判斷

bn+1

bn

為定值．