Question

20.已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁中底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為a,側(cè)面A₁ACC₁⊥底 面ABC,A₁B＝a.

20題圖

(Ⅰ)求異面直線AC與BC₁所成角的余弦值；

(Ⅱ)求證A₁B⊥面AB₁C.

Answer 1

20.本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系,考查邏輯推理能力 和空間想象能力.

  解:過點(diǎn)B作BO⊥AC,垂足為點(diǎn)O,則BO⊥側(cè)面ACC₁A₁,連結(jié)A₁O,在Rt △A₁BO中,A₁B＝a,BO＝a,

∴A₁O＝a,又AA₁＝a,AO＝.

∴△A₁AO為直角三角形,A₁O⊥AC,A₁O⊥底面ABC.

解法一:

(Ⅰ)

∵　A₁C₁∥AC,

∴　∠BC₁A₁為異面直線AC與BC₁所成的角.

∵　A₁O⊥面ABC,AC⊥BO,

∴　AC⊥A₁B,

∴  A₁C₁⊥A₁B.

在Rt△A₁BC₁中,A₁B＝a,A₁C₁＝a,

∴　BC₁＝a

∴  cosBC₁A₁＝,

所以,異面直線AC與BC₁所成角的余弦值為.

(Ⅱ)

設(shè)A₁B與AB₁相交于點(diǎn)D,

∵　ABB₁A₁為菱形,

∴　AB₁⊥A₁B.

又　A₁B⊥AC,

  AB₁與AC是平面AB₁C內(nèi)兩條相交直線,

  所以A₁B⊥面AB₁C.

  解法二:

(Ⅰ)如圖,建立坐標(biāo)系,原點(diǎn)為BO⊥AC的垂足O.由題設(shè)條件可得

B(a,0,0),C₁(0,a,a),

A(0,－a,0),C(0,a,0),

∴  ＝(－a,a,a),＝(0,a,0).

設(shè)與的夾角為θ,則

cosθ＝＝＝,

所以,異面直線AC與BC₁所成角的余弦值為.

(Ⅱ)A₁(0,0,a),B(,0,0),

∴　＝(a,0,－a),

    ＝(0,a,0),·＝0,

∴  A₁B⊥AC.

又ABB₁A₁為菱形,

∴　A₁B⊥AB₁.

又因?yàn)?I >AB₁與AC為平面AB₁C內(nèi)兩條相交直線,

所以A₁B⊥平面AB₁C.