Question

已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于的方程滿足f（x）=m（m∈R）有且僅有三個不同的實數(shù)根，且α，β分別是三個根中最小根和最大根，則的值為________．

Answer 1

分析：同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=m，因為兩圖象有且僅有三個公共點，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最小根β=，最大根α=，將它們代入再化簡，即可得到要求值式子的值．
解答：解：函數(shù)f（x）=的圖象如下圖所示：
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-）和（，π）；
單調(diào)增區(qū)間為（-，）和（π，+∞），
f（x）的極大值為f（）=1，極小值為f（-）=-和f（π）=0
將直線y=m進(jìn)行平移，可得當(dāng)m=1時，兩圖象有且僅有三個不同的公共點，
相應(yīng)地方程f（x）=m（m∈R）有且僅有三個不同的實數(shù)根．
令f（x）=1，得x₁=，x₂=，x₃=，所以β=，α=，
∴β•sin（+α）=•sin=•（-）=
故答案為：
點評：本題以分段函數(shù)為例，求方程的最大根和最小根，并且用這個根來求值，著重考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，以及三角函數(shù)求值等知識，屬于中檔題．