Question

已知函數(shù)f(x)=e^-x(x²+ax+1).

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)關(guān)于x的方程f(x)=0在區(qū)間(-2，1)上有兩個不同的實(shí)根，求a的取值范圍.

Answer 1

解：(Ⅰ)f′(x)=-e^-x(x-1)(x+a-1), 

①當(dāng)a=0時,f′(x)≤0在R上成立,

∴f(x)在R上為減函數(shù)； 

②當(dāng)a＞0時,在x∈(-∞,1-a)和x∈(1,+∞)時,f′(x)＜0,在x∈(1-a,1)時,f′(x)＞0,∴f(x)的減區(qū)間為(-∞,1-a),(1,+∞),增區(qū)間為(1-a,1)； 

③當(dāng)a＜0時,在x∈(-∞,1)和x∈(1-a,+∞)時,f′(x)＜0,在x∈(1,1-a)時,f′(x)＞0,∴f(x)的減區(qū)間為(-∞,1),(1-a,+∞),增區(qū)間為(1,1-a). 

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當(dāng)a≤0時,f(x)在(-2,1)上為減函數(shù),∴f(x)=0在(-2,1)上不可能有2個不等實(shí)根； 

當(dāng)a＞0時,要使f(x)=0在(-2,1)上有2個不等實(shí)根,

需∴2＜a＜,又a＞0, 

∴當(dāng)2＜a＜時,f(x)=0在(-2,1)上有2個不等實(shí)根.