Question

（本小題滿分12分）設點P的坐標為，直線l的方程為．請寫出點P到直線l的距離，并加以證明．

 

 

Answer 1

【答案】

解：點P到直線l的距離公式為．    ————3分

證法1：過點P作直線l的垂線，垂足為H．若A = 0，則直線l的方程為，此時點P到直線l的距離為，而，可知結(jié)論是成立的．                                         ————5分

若，則直線PH的斜率為，方程為，與直線l的方程聯(lián)立可得

      

解得，

                                                ————9分

據(jù)兩點間距離公式得

．

                                          ————12分

證法2：若B = 0，則直線l的方程為，此時點P到直線l的距離為

      ；

若，則直線l的方程為，此時點P到直線l的距離為

；

若，，過點P作y軸的垂線，交直線l于點Q，過點P作直線l于y軸的垂線，交直線l于點Q，設直線l的傾斜角為，則．

因為 ，

     ，

所以，．綜上，．

證法３：過點P作直線l的垂線，垂足為H．則直線PH的一個方向向量對應于直線l的一個法向量，而直線l的一個法向量為，又線段PH的長為d，所以

      或

設點H的坐標為，則，可得

     

把點H的坐標代入直線l的方程得

     

整理得 ，解得．

證法４：過點P作直線l的垂線，垂足為H．在直線l上任取一點Q，直線PH的一個方向向量為，據(jù)向量知識，向量在向量上的投影的絕對值恰好是線段PH的長，因此

      

因為，而點滿足，所以．因此．

 

【解析】略