Question

5．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，∠ACB=90°，AC=$\frac{1}{2}$AA₁，D、E分別是棱AA₁、CC₁的中點．
（1）證明：AE∥平面BDC₁；
（2）證明：DC₁⊥平面BDC．

Answer 1

分析 （1）欲證明AE∥平面BDC₁，只需推知AE∥DC₁即可；
（2）欲證明DC₁⊥平面BDC，只需證得DC₁與平面BDC內(nèi)的兩條相交線垂直即可．

解答 證明：（1）因為D、E分別是棱AA₁、CC₁的中點，AC=$\frac{1}{2}$AA₁，
所以AD∥C₁E，且AD=C₁E，
所以四邊形DAEC₁是平行四邊形，
所以AE∥DC₁．
因為DC₁?平面BDC₁，
所以AE∥平面BDC₁；
（2）由題意知，BC⊥CC₁，BC⊥AC．
所以BC⊥面ACC₁A₁．
又DC₁?面ACC₁A₁，
所以DC₁⊥BC．
在矩形ACC₁A₁中，因為AC=$\frac{1}{2}$AA₁，D是棱AA₁的中點，
所以DC₁⊥DC．
因為DC₁⊥BC，DC₁⊥DC，且BC∩DC=C，
所以DC₁⊥平面BDC．

點評 本題考查了線面平行、線面垂直的判定定理，是一道中檔題．解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．